احتمال دو مرحله‌ای را با «جفت، جدول، کسر» حل کن
وقتی دو تاس، دو گردونه یا دو انتخاب پیاپی داریم، نوشتن فقط نتیجه‌های یکی از آن‌ها مسئله را ناقص می‌کند. روش کوتاه این است: نتیجه‌ها را جفت کن، جفت‌ها را در جدول بچین و در پایان کسرِ «حالت‌های مطلوب به همهٔ حالت‌های ممکن» را بساز.
- جفت: هر نتیجهٔ کامل را به‌شکل (مرحلهٔ اول، مرحلهٔ دوم) بنویس.
- جدول: سطرها را به حالت‌های مرحلهٔ اول و ستون‌ها را به حالت‌های مرحلهٔ دوم بده.
- کسر: خانه‌های مطلوب را بشمار و بر تعداد همهٔ خانه‌های هم‌شانس تقسیم کن.
منبع رسمی چه خطایی را آشکار می‌کند؟
در انتشار عمومی و رسمی ریاضی پایهٔ هفتم ادارهٔ آموزش ایالت مریلند، سؤال ۳۲ یک بازی با دو گردونهٔ چهاربخشی را بررسی می‌کند. صفحهٔ رسمی، پاسخ‌های نمونهٔ ناشناس را همراه امتیاز و توضیح ارزیاب منتشر کرده است. چون هر گردونه ۴ نتیجه دارد، نتیجهٔ کاملِ هر بار بازی یکی از ۴×۴=۱۶ زوج ممکن است.
در پاسخ نمونهٔ G، محاسبه به «یک از چهار» می‌رسد؛ توضیح رسمی خطا را این می‌داند که فقط گردونهٔ اول وارد شمارش شده و ۱۶ نتیجهٔ دومرحله‌ای ساخته نشده است. پاسخ‌های قوی‌تر، جفت‌های ممکن را منظم فهرست می‌کنند و برای یکی از بازیکن‌ها ۱۰ حالت مطلوب از ۱۶ حالت به دست می‌آورند.
این مجموعه، انتشار رسمیِ پاسخ‌های نمونه و توضیح نمره‌گذار است؛ پیمایش آماری از همهٔ دانش‌آموزان نیست. پس از آن نمی‌توان درصد شیوع این خطا، علت آن یا برتری یک روش تدریس را نتیجه گرفت. ارزش منبع برای رفع اشکال، نشان‌دادن یک خط دقیق و قابل اصلاح است: مخرجِ ۴ به‌جای ۱۶.
چرا تعداد حالت‌ها ضرب می‌شود؟
فرض کن گردونهٔ اول سه عدد ۱، ۲، ۳ و گردونهٔ دوم دو عدد ۰، ۲ دارد. برای نتیجهٔ ۱ در مرحلهٔ اول، دو ادامه داریم: (۱،۰) و (۱،۲). برای ۲ نیز دو ادامه و برای ۳ هم دو ادامه وجود دارد. بنابراین سه گروهِ دوتایی، یعنی ۶ نتیجهٔ کامل ساخته می‌شود.
سطر ۱: (۱،۰) و (۱،۲)
سطر ۲: (۲،۰) و (۲،۲)
سطر ۳: (۳،۰) و (۳،۲)
کنترل تعداد: ۳×۲=۶
قاعدهٔ ضرب در اینجا میان‌بری برای شمارش است: هر یک از ۳ حالت اول با هر یک از ۲ حالت دوم جفت می‌شود. هنوز احتمال را حساب نکرده‌ایم؛ فقط فضای نمونه را کامل ساخته‌ایم.
مثال حل‌شده: مجموع حداقل ۳ باشد
در همان دو گردونه، می‌خواهیم احتمال این را پیدا کنیم که مجموع دو عدد دست‌کم ۳ باشد. روی جدول، مجموع هر زوج را حساب می‌کنیم:
- (۱،۰) مجموع ۱ و (۱،۲) مجموع ۳ دارد؛ فقط زوج دوم مطلوب است.
- (۲،۰) مجموع ۲ و (۲،۲) مجموع ۴ دارد؛ فقط زوج دوم مطلوب است.
- (۳،۰) مجموع ۳ و (۳،۲) مجموع ۵ دارد؛ هر دو زوج مطلوب‌اند.
پس ۴ خانه از ۶ خانه مطلوب است و احتمال برابر ۴/۶=۲/۳ می‌شود. پاسخ «دو حالت مطلوب از سه عدد گردونهٔ اول، پس ۲/۳» در این مثال اتفاقاً به همان عدد می‌رسد، اما روشش ناقص است؛ با عوض‌شدن شرط ممکن است جواب نادرست بدهد. درست‌بودن تصادفیِ جواب، فضای نمونهٔ ناقص را اصلاح نمی‌کند.
سه خطای قابل تشخیص
۱. شمردن فقط یک مرحله
اگر دو گردونهٔ چهاربخشی داری و مخرج را ۴ نوشته‌ای، بپرس: «نتیجهٔ گردونهٔ دوم کجاست؟» نتیجهٔ کامل یک عدد نیست؛ یک جفت است. مخرج باید با ۴×۴=۱۶ کنترل شود.
۲. شمردن مقدارها به‌جای راه‌های رسیدن
در دو پرتاب سکه، سه تعدادِ شیر ممکن است: صفر، یک یا دو. اما این سه مقدار هم‌شانس نیستند؛ «یک شیر» از دو نتیجهٔ (شیر، خط) و (خط، شیر) ساخته می‌شود. فضای نمونهٔ هم‌شانس چهار زوج دارد، نه سه مقدار.
۳. جا انداختن یا دوباره‌شمردن زوج‌ها
فهرست خطی ممکن است یک زوج را جا بیندازد. جدول، هر سطر را به یک حالت مرحلهٔ اول و هر ستون را به یک حالت مرحلهٔ دوم وصل می‌کند؛ بنابراین تعداد خانه‌ها باید دقیقاً برابر حاصل‌ضرب تعداد سطر و ستون باشد.
مرز کاربرد: آیا همهٔ خانه‌ها هم‌شانس‌اند؟
فرمول «تعداد مطلوب بر تعداد ممکن» وقتی مستقیم کار می‌کند که نتیجه‌های ابتدایی هم‌شانس باشند؛ مثلاً بخش‌های گردونه هم‌اندازه باشند یا سکه سالم فرض شود. اگر یکی از بخش‌ها بزرگ‌تر است، جدول هنوز همهٔ زوج‌ها را نشان می‌دهد، اما احتمال خانه‌ها برابر نیست و نمی‌توان فقط آن‌ها را شمرد.
همچنین در انتخاب بدون جایگذاری، تعداد یا احتمال مرحلهٔ دوم به نتیجهٔ مرحلهٔ اول وابسته می‌شود. آنجا باید احتمال هر مسیر را جداگانه حساب کنی. هدف این راهنما ساخت درست فضای نمونهٔ متناهی و هم‌شانس است، نه پوشش احتمال شرطی یا فرایندهای وابسته.
تمرین رفع اشکال
یک سکه و یک گردونه با عددهای ۱، ۲ و ۳ داریم. نتیجهٔ مطلوب این است که «سکه شیر بیاید و عدد گردونه زوج باشد».
- پیش از حساب، مخرج را بنویس: سکه ۲ حالت و گردونه ۳ حالت دارد؛ پس ۲×۳=۶ نتیجهٔ کامل داریم.
- شش زوج را با ترتیب (سکه، عدد) بنویس.
- فقط (شیر،۲) مطلوب است؛ پس احتمال ۱/۶ است.
- اگر پاسخ تو ۱/۳ بود، احتمالاً شرط سکه را در شمارش مخرج ندیده‌ای.
تمرین انتقال
دو بار یک سکهٔ سالم را پرتاب می‌کنیم. احتمال «دقیقاً یک بار شیر» چقدر است؟ ابتدا چهار زوج (شیر،شیر)، (شیر،خط)، (خط،شیر) و (خط،خط) را بنویس. دو زوج میانی مطلوب‌اند؛ پس پاسخ ۲/۴=۱/۲ است.
اکنون انتقال روش را امتحان کن: اگر سکه را سه بار بیندازیم، چند نتیجهٔ کامل داریم؟ چون هر مرحله ۲ حالت دارد، ۲×۲×۲=۸. برای «دقیقاً یک شیر»، سه جای ممکن برای شیر وجود دارد؛ بنابراین احتمال ۳/۸ می‌شود.
چک‌لیست کنترل جواب
- آیا هر نتیجهٔ کامل، همهٔ مرحله‌ها را نشان می‌دهد؟
- آیا تعداد خانه‌های جدول با حاصل‌ضرب تعداد حالت‌های مرحله‌ها برابر است؟
- آیا نتیجه‌هایی با مقدار نهایی یکسان اما مسیر متفاوت را جدا شمرده‌ای؟
- آیا حالت‌های ابتدایی واقعاً هم‌شانس‌اند؟
- آیا کسر نهایی بین صفر و یک است و می‌توانی صورت آن را روی جدول نشان بدهی؟
جمع‌بندی
در احتمال دومرحله‌ای، اولین پرسش «چند عدد می‌بینم؟» نیست؛ «هر نتیجهٔ کامل از چه دو جزء ساخته شده؟» است. زوج‌های مرتب را در جدول بساز، تعداد کل را با قاعدهٔ ضرب کنترل کن، سپس خانه‌های مطلوب را علامت بزن. اگر وسط ساخت مدل یا انتخاب شرط گیر کردی، راهنمای حل سؤال ریاضی آنلاین کمک می‌کند داده، خواسته و پل میان آن‌ها را جدا کنی؛ برای سنجش مخرج و بازهٔ پاسخ هم از روش‌های کنترل جواب مسئله استفاده کن.
سؤال احتمال خودت را مرحله‌به‌مرحله بفرست