رفع اشکال آنلاین همه راهنماها
خانه / راهنماها / ریاضی و کسرها

جمع کسر با مخرج متفاوت؛ اول واحدها را هم‌اندازه کن

برای جمع کسر با مخرج متفاوت، صورت‌ها و مخرج‌ها را مستقیم جمع نکن. ابتدا هر دو کسر را به کسرهای هم‌ارز با یک مخرج مشترک تبدیل کن، سپس فقط صورت‌ها را جمع کن و همان مخرج را نگه دار.

انتشار: ۱۱ مهر ۱۴۰۵ · زمان مطالعه: ۷ دقیقه

جمع کسر با مخرج متفاوت در پنج گام

  1. مخرج‌ها را مقایسه کن. اگر برابر نیستند، هنوز اجازهٔ جمع صورت‌ها را نداری.
  2. یک مخرج مشترک پیدا کن. بهتر است کمترین مضرب مشترک مخرج‌ها را انتخاب کنی تا عددها کوچک بمانند.
  3. هر کسر را هم‌ارز کن. صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد یکسان ضرب کن.
  4. صورت‌ها را جمع یا تفریق کن. مخرج مشترک بدون تغییر باقی می‌ماند.
  5. پاسخ را ساده و کنترل کن. اگر صورت و مخرج عامل مشترک دارند، کسر را ساده کن؛ سپس جواب را با تخمین بسنج.
قاعدهٔ کوتاه:
a/b + c/d = (ad + bc) / bd، به شرط b ≠ 0 و d ≠ 0.
این فرمول از تبدیل هر دو کسر به مخرج مشترک bd می‌آید؛ لازم نیست همیشه کوچک‌ترین مخرج باشد، اما معتبر است.

خطای قابل مشاهده: جمع مستقیم صورت و مخرج

یک راه‌حل خطادار ممکن است برای 5/12 + 7/18 بنویسد:

5/12 + 7/18 = (5+7)/(12+18) = 12/30 = 2/5

اولین خط اشتباه همان تبدیل جمع دو کسر به (5+7)/(12+18) است. مخرج اندازهٔ هر قسمت را مشخص می‌کند: دوازدهم و هجدهم دو واحد هم‌اندازه نیستند که تعدادشان را مستقیم روی هم بگذاریم. مخرج تازه باید هر دو نوع قسمت را به قطعه‌هایی هم‌اندازه تبدیل کند، نه اینکه فقط دو عدد مخرج را جمع کند.

روش تشخیص سه‌ثانیه‌ای: اگر بین دو کسر علامت جمع یا تفریق است و در خط بعد، مخرج‌ها هم با همان علامت به هم وصل شده‌اند، آن خط را متوقف و مخرج مشترک را بررسی کن.

راهنمای OpenStax دربارهٔ جمع و تفریق کسرهای با مخرج متفاوت نیز روش را با یافتن کمترین مخرج مشترک، ساخت کسرهای هم‌ارز و سپس جمع صورت‌ها توضیح می‌دهد.

مثال تخصصی: ۵/۱۲ + ۷/۱۸

مضرب‌های ۱۲ عبارت‌اند از ۱۲، ۲۴، ۳۶ و ...؛ مضرب‌های ۱۸ نیز ۱۸، ۳۶ و ... هستند. پس کمترین مخرج مشترک ۳۶ است.

5/12 = (5×3)/(12×3) = 15/36
7/18 = (7×2)/(18×2) = 14/36
15/36 + 14/36 = 29/36

کسر 29/36 ساده‌تر نمی‌شود، چون ۲۹ عدد اول است و عامل مشترکی با ۳۶ ندارد. پاسخ خطادار 2/5 حتی از 5/12 کوچک‌تر است؛ در حالی که با افزودن یک کسر مثبت، حاصل باید از هر کدام از دو کسر بزرگ‌تر شود. این تناقض بدون حل دوباره، خطا را آشکار می‌کند.

اگر در حل طولانی نمی‌دانی خطا دقیقاً کجا رخ داده، به آخرین خط مطمئن راه‌حل برگرد: تا نوشتن دو کسر داده‌شده مطمئن بودی؛ اولین تبدیل بعد از علامت مساوی باید برابری را حفظ کند.

چرا باید صورت و مخرج را با هم ضرب کنیم؟

ضرب صورت و مخرج در یک عدد غیرصفر، مقدار کسر را عوض نمی‌کند، چون در واقع کسر را در ۱ ضرب می‌کنیم. برای نمونه:

5/12 × 3/3 = 15/36
چون 3/3 = 1، مقدار کسر ثابت می‌ماند و فقط نام واحد از «دوازدهم» به «سی‌وششم» تغییر می‌کند.

اما اگر فقط مخرج را در ۳ ضرب کنیم و صورت را ثابت بگذاریم، 5/12 به 5/36 تبدیل می‌شود و مقدار آن یک‌سوم خواهد شد. کنار هر تبدیل، ضریب هم‌ارزی را به شکل n/n بنویس تا این خطا دیده شود.

مخرج مشترک لازم است؛ حاصل‌ضرب همیشه لازم نیست

حاصل‌ضرب دو مخرج همیشه یک مخرج مشترک می‌سازد، اما ممکن است بی‌دلیل بزرگ باشد. در 1/6 + 1/8، عدد ۴۸ مشترک است، ولی کمترین مضرب مشترک ۲۴ است:

1/6 + 1/8 = 4/24 + 3/24 = 7/24

هر دو مسیر می‌توانند به پاسخ درست برسند؛ انتخاب کمترین مخرج مشترک فقط محاسبه و ساده‌سازی را کوتاه‌تر می‌کند. اگر یکی از مخرج‌ها مضرب دیگری باشد، همان مخرج بزرگ‌تر کافی است: 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/8.

مرز روش: جمع با ضرب و تقسیم فرق دارد

نیاز به مخرج مشترک مخصوص جمع و تفریق است. در ضرب کسرها، صورت‌ها در هم و مخرج‌ها در هم ضرب می‌شوند. در تقسیم، کسر دوم معکوس و سپس ضرب می‌شود؛ راهنمای تقسیم کسر بر کسر دلیل آن را مرحله‌به‌مرحله نشان می‌دهد.

همچنین «ضرب طرفین وسطین» برای برابری دو نسبت است، نه جمع دو کسر. اگر میان دو کسر علامت جمع می‌بینی، از راهنمای مرز کاربرد ضرب متقاطع کمک بگیر و ابتدا ساختار عبارت را تشخیص بده.

سه کنترل برای پیدا کردن خطا

  1. کنترل اندازه: جمع دو کسر مثبت باید از هر کدام بزرگ‌تر باشد. 2/5 نمی‌تواند پاسخ 5/12 + 7/18 باشد.
  2. کنترل نقطهٔ مرجع: 5/12 کمی کمتر از یک‌دوم و 7/18 نیز کمی کمتر از یک‌دوم است؛ حاصل باید نزدیک ۱ و کمتر از آن باشد. 29/36 با این تخمین سازگار است.
  3. کنترل اعشاری: فقط برای بازبینی، 5÷12 + 7÷18 را با 29÷36 مقایسه کن. اعشار جای روش کسری را نمی‌گیرد، اما می‌تواند برابری را آزمایش کند.

برای کنترل‌های بیشتر مانند بازه، علامت و عملیات معکوس، راهنمای بررسی جواب مسئله را ببین.

تمرین انتقال: روش را روی عددهای تازه اجرا کن

هر تمرین را ابتدا بدون دیدن پاسخ حل کن. زیر مخرج مشترک خط بکش و ضریب هم‌ارزی هر کسر را کنار آن بنویس.

  1. 3/8 + 1/6
  2. 5/6 − 1/4
  3. 2/3 − 5/8 + 1/12
پاسخ و مسیر کنترل:
۱) مخرج ۲۴: 9/24 + 4/24 = 13/24.
۲) مخرج ۱۲: 10/12 − 3/12 = 7/12.
۳) مخرج ۲۴: 16/24 − 15/24 + 2/24 = 3/24 = 1/8.

تمرین تشخیص: برای سؤال سوم، راه‌حل خطاداری بساز که فقط یک اشتباه داشته باشد؛ سپس نخستین خط غلط را مشخص و در یک جمله توضیح بده چرا برابری در آن خط حفظ نشده است. این کار، اشتباه آزمون را به تمرین آموزشی تبدیل می‌کند.

چک‌لیست جمع و تفریق کسرها

جمع‌بندی

در جمع کسر با مخرج متفاوت، مخرج‌ها نامِ واحدهای متفاوت‌اند و مستقیم جمع نمی‌شوند. نخست مخرج مشترک بساز، هر کسر را با ضرب هم‌زمان صورت و مخرج هم‌ارز کن، سپس صورت‌ها را جمع و مخرج را ثابت نگه دار. اگر در یک راه‌حل، صورت‌ها و مخرج‌ها جداگانه جمع شده‌اند، همان خط اولین خطای قابل اصلاح است. برای ادامهٔ حل هر سؤال کسر نیز می‌توانی از روش حل سؤال ریاضی مرحله‌به‌مرحله استفاده کنی.

راه‌حل کسرها را برای پیدا کردن اولین خط اشتباه بفرست