پخش کردن عدد در پرانتز در یک نگاه
پرانتز چند جمله را به‌صورت یک گروه نگه می‌دارد. وقتی عددی بیرون این گروه ضرب شده است، همان عدد باید سهم هر جمله شود. قاعدهٔ کلی چنین است:
a(b−c)=ab−ac
در عبارت 5(2x+3)، دو پیکان ذهنی از ۵ بکش: یکی به 2x و دیگری به ۳. حاصل 10x+15 است. اگر فقط جملهٔ اول ضرب شود، مقدار عبارت عوض می‌شود و دیگر با عبارت آغازین هم‌ارز نیست.
یک پاسخ دانش‌آموزی چه خطایی را آشکار می‌کند؟
در مجموعهٔ عمومی و رسمی سؤال‌های ریاضی پایهٔ هفتم وزارت آموزش مریلند، یک پاسخ دانش‌آموزی عبارت 4(5¼n−1.5) را به 21n−1.5 تبدیل کرده است. بخش اول درست است: 4×5¼n=21n. اما عدد ۴ به جملهٔ دوم نرسیده و باید 4×(−1.5)=−6 نیز نوشته شود.
این نمونه فقط یک پاسخ آموزشی منتشرشده است؛ از آن نمی‌توان نتیجه گرفت این خطا میان همهٔ دانش‌آموزان شایع است. ارزش نمونه در این است که محل دقیق خراب‌شدن حل را نشان می‌دهد: نه تبدیل عدد مخلوط و نه جمع جمله‌های هم‌نوع، بلکه جاافتادن پیکان دومِ توزیع.
4(5¼n−1.5)=4×5¼n+4×(−1.5)=21n−6
علامت منفی متعلق به جملهٔ دوم است و همراه آن وارد ضرب می‌شود.
روش سه‌مرحله‌ای برای توزیع بدون جاافتادگی
- جمله‌ها را جدا کن: علامت جمع یا تفریق مرز جمله‌هاست. در 2x−3y+5 سه جمله داریم: 2x، −3y و ۵.
- برای هر جمله یک ضرب بنویس: اگر ضریب بیرون پرانتز −2 است، سه ضرب جدا باید دیده شود؛ هیچ جمله‌ای نباید بی‌پیکان بماند.
- علامت و عدد را حساب کن: ابتدا علامت ضرب، بعد ضریب عددی و سپس بخش حرفی را بنویس.
=(−2)(3x)+(−2)(−4y)+(−2)(5)
=−6x+8y−10
نوشتن خط میانی شاید در شروع طولانی به نظر برسد، اما دقیقاً دو خطای رایج را آشکار می‌کند: جاانداختن یک جمله و عوض‌کردن نادرست علامت منفی. پس از تثبیت روش می‌توانی پیکان‌ها را ذهنی کنی، ولی هنگام رفع اشکال دوباره همین خط میانی را بنویس.
علامت منفی پشت پرانتز در محاسبات ریاضی
وقتی عددی پیش از پرانتز دیده نمی‌شود و فقط علامت منفی وجود دارد، ضریب پنهان −1 است. بنابراین منفی فقط علامت جملهٔ اول را عوض نمی‌کند؛ در همهٔ جمله‌های پرانتز ضرب می‌شود:
=(−1)(2x)+(−1)(−3)
=−2x+3
به همین دلیل در عبارت 4−(2x−3)+2(x+1) باید هر دو پرانتز را با ضریب درست باز کنیم:
=4−2x+3+2x+2
=9
کنترل مستقل: با x=5، عبارت اصلی برابر 4−(10−3)+2(6)=9 می‌شود؛ پس حذف شدن متغیرها در جواب نهایی تصادفی نیست. اگر داخل پرانتز فقط عددها هستند، می‌توانی ابتدا مقدار داخل را حساب کنی؛ اما اگر برای حذف پرانتز توزیع می‌کنی، منفی باید به همهٔ جمله‌ها برسد. OpenStax نیز در راهنمای خاصیت توزیع و منفیِ پیش از پرانتز این علامت را ضرب در −1 توضیح می‌دهد. برای تفاوت این حالت با کم‌کردن یک عدد منفی، راهنمای تفریق عدد منفی را ببین.
مثال تخصصی: ضریب منفی و جملهٔ بیرون پرانتز
عبارت 7−3(2x−5) را ساده می‌کنیم. عددی که توزیع می‌شود −3 است، نه فقط ۳؛ زیرا علامت منفی پیش از ۳ بخشی از ضریب ضربی است:
=7+(−3)(2x)+(−3)(−5)
=7−6x+15
=22−6x
اگر به 7−6x−15 رسیده‌ای، ضریب را در ۵ ضرب کرده‌ای ولی منفیِ داخل پرانتز را جا انداخته‌ای. اگر به 7−6x−5 رسیده‌ای، جملهٔ دوم اصلاً در ۳ ضرب نشده است. نام‌گذاری نوع خطا کمک می‌کند فقط همان گام را تمرین کنی؛ راهنمای پیدا کردن خطای علامت در جبر نیز برای جداکردن این دو حالت مفید است.
چرا این قاعده درست است؟
فرض کن سه بسته داری و در هر بسته دو مداد قرمز و چهار مداد آبی است. می‌توانی ابتدا داخل یک بسته را جمع کنی و بنویسی 3(2+4)=18، یا رنگ‌ها را جدا بشماری: 3×2+3×4=6+12=18. هر دو روش یک مجموعه را می‌شمارند. خاصیت توزیع همین برابری را برای عددها و عبارت‌های جبری بیان می‌کند.
این توضیح یک مرز مهم هم دارد: توزیع مربوط به ضرب روی جمع یا تفریق است. از شباهت ظاهری نباید نتیجه بگیریم توان یا رادیکال نیز همیشه روی جمع پخش می‌شود. برای نمونه، (a+b)² برابر a²+b² نیست؛ جزئیات آن در راهنمای خطای توان روی جمع آمده است.
کنترل با جای‌گذاری؛ سریع‌ترین راه کشف جملهٔ جاافتاده
اگر دو عبارت باید هم‌ارز باشند، با هر مقدار مجاز برای متغیر جواب یکسان می‌دهند. برای کنترل 3(2x−4)=6x−12 مقدار سادهٔ x=1 را جای‌گذاری کن:
سمت پخش‌شده: 6×1−12=−6
حالا پاسخ خطادار 6x−4 را با همان مقدار بسنج: حاصل ۲ می‌شود و با −6 برابر نیست. یک جای‌گذاری نمی‌تواند به‌تنهایی اثبات کامل هم‌ارزی باشد، اما برای پیدا کردن بسیاری از توزیع‌های غلط، کنترل سریع و مؤثری است. اگر دو طرف برابر نشدند، به خطی برگرد که پیکان‌ها را نوشته‌ای.
مرز کاربرد: چه وقت نباید جمله‌ها را یکی کنیم؟
پس از توزیع فقط جمله‌های هم‌نوع با هم جمع می‌شوند. در 2(3x+4)=6x+8 نمی‌توان 6x و ۸ را به 14x تبدیل کرد، چون یکی جملهٔ دارای x و دیگری مقدار ثابت است. همچنین اگر پیش از پرانتز هیچ عمل ضربی وجود ندارد، چیزی برای توزیع نداریم.
گاهی مسیر برعکس است: از 6x+9 عامل مشترک ۳ را بیرون می‌کشیم و به 3(2x+3) می‌رسیم. این دو کار باید یکدیگر را خنثی کنند. پس یک کنترل دیگر این است که از جواب نهایی عامل مشترک بگیری و ببینی آیا به پرانتز اول برمی‌گردی.
تمرین رفع اشکال و انتقال
در هر مورد، پیش از محاسبه تعداد جمله‌های داخل پرانتز را بنویس و همان تعداد ضرب بساز:
- 5(2x−3)
- −4(3a+2)
- 2(4m−n+6)
- خطای این تبدیل را پیدا کن: 3(2y−7)=6y−7
- بررسی کن آیا −2(x−5)+3 و −2x+13 هم‌ارزند.
۱) 10x−15
۲) −12a−8
۳) 8m−2n+12
۴) جملهٔ دوم در ۳ ضرب نشده؛ پاسخ درست 6y−21 است.
۵) بله؛ −2(x−5)+3=−2x+10+3=−2x+13.
تمرین انتقال نهایی: یک عبارت سه‌جمله‌ای داخل پرانتز بساز که ضریب بیرون آن منفی باشد. یک پاسخ غلط طراحی کن که دقیقاً یک جمله در آن ضرب نشده باشد؛ سپس با جای‌گذاری عدد ۱ خطا را آشکار کن. ساختن خطای کنترل‌شده نشان می‌دهد محل اثر قاعده را فهمیده‌ای.
چک‌لیست قبل از ادامهٔ حل
- ضریب بیرون پرانتز را همراه علامتش مشخص کرده‌ام.
- جمله‌های داخل پرانتز را با علامت خودشان جدا کرده‌ام.
- به تعداد جمله‌ها، ضرب یا پیکان نوشته‌ام.
- علامت هر حاصل‌ضرب را جداگانه حساب کرده‌ام.
- فقط جمله‌های هم‌نوع را با هم ترکیب کرده‌ام.
- جواب را با یک جای‌گذاری ساده یا عامل‌گیری برگشت کنترل کرده‌ام.
جمع‌بندی
در پخش کردن عدد در پرانتز، هر جمله باید ضریب بیرون پرانتز را دریافت کند. جمله‌ها را با علامتشان جدا کن، برای هرکدام یک ضرب بنویس و پس از توزیع فقط جمله‌های هم‌نوع را جمع کن. اگر پاسخ مشکوک بود، یک مقدار ساده جای متغیر بگذار؛ نابرابرشدن دو طرف سریعاً جملهٔ جاافتاده یا علامت خراب را نشان می‌دهد. برای ادامهٔ سؤال‌های جبری مشابه از مسیر حل سؤال ریاضی مرحله‌به‌مرحله استفاده کن.
عبارت جبری را برای پیدا کردن اولین خط اشتباه بفرست