تغییر جهت نامساوی؛ خطای تقسیم بر عدد منفی را پیدا کن

تغییر جهت نامساوی دقیقاً در کدام خط لازم است؟

راه‌حل را خط‌به‌خط بخوان و کنار هر خط فقط عملی را که روی هر دو طرف انجام شده بنویس. سپس این سه پرسش را پاسخ بده:

1. عمل چیست؟ جمع و تفریق، ضرب یا تقسیم را از عبارت‌هایی مثل «بردن به آن طرف» جدا و روشن بنویس.
2. عددِ ضرب یا تقسیم چه علامتی دارد؟ فقط اگر منفی است، جهت < و > یا ≤ و ≥ برعکس می‌شود.
3. آیا یک عددِ مرزی و یک عددِ آزمایشی جواب را تأیید می‌کنند؟ مرز را در دو طرف بگذار و بعد عددی از ناحیهٔ پاسخ را در نامساوی اصلی امتحان کن.

مثال تخصصی: نخستین خط اشتباه را متوقف کن

نامساوی زیر را حل کن:

یک راه‌حل اشتباه ممکن است چنین پیش برود:

دو خط اول درست‌اند. در خط سوم هر دو طرف بر −6 تقسیم شده‌اند؛ پس همان‌جا باید جهت نامساوی تغییر کند:

مرز x = −1 دو طرف را برابر می‌کند: مقدار سمت چپ نامساوی اصلی ۹ است. برای تشخیص جهت نیز x = 0 را امتحان کن؛ چون 3 ≤ 9 درست است، صفر باید در مجموعهٔ جواب باشد. پاسخ اشتباه x ≤ −1 صفر را حذف می‌کرد، اما پاسخ درست x ≥ −1 آن را نگه می‌دارد.

چرا علامت با عدد منفی برعکس می‌شود؟

از یک مقایسهٔ ساده شروع کن: 2 < 5. اگر هر دو عدد را در −1 ضرب کنیم، روی محور اعداد جای آن‌ها نسبت به هم آینه می‌شود: −2 > −5. ضرب در عدد منفی ترتیب نقاط را برمی‌گرداند؛ بنابراین برای حفظ یک گزارهٔ درست، جهت علامت هم باید برگردد.

درس حل نامساوی‌ها در OpenStax نیز ویژگی ضرب و تقسیم نامساوی را همین‌طور بیان می‌کند: با عدد مثبت جهت ثابت می‌ماند و با عدد منفی جهت برعکس می‌شود.

سه خطای نزدیک را از هم جدا کن

• تقسیم بر عدد مثبت: از 4x > 12 به x > 3 می‌رسیم و جهت ثابت می‌ماند.
• جمع یک عدد منفی: در x + 5 ≥ 8 از دو طرف ۵ کم می‌کنیم و x ≥ 3 می‌شود؛ باز هم جهت ثابت است.
• جابه‌جا نوشتن دو طرف: عبارت‌های x > 3 و 3 < x یک معنا دارند. این بازنویسی، ضرب در منفی نیست؛ جای دو عبارت عوض شده و علامت برای حفظ همان معنا از سوی دیگر خوانده می‌شود.

اگر چند علامت منفی داخل پرانتزها باعث شده‌اند ضریب نهایی را اشتباه به دست بیاوری، ابتدا با روش پیدا کردن خطای علامت در جبر ضریب مجهول را کنترل کن؛ بعد دربارهٔ جهت نامساوی تصمیم بگیر.

اگر ضریب یک عبارتِ مجهول باشد چه؟

قاعدهٔ برگرداندن جهت زمانی مستقیم است که علامتِ عددِ ضرب یا تقسیم را می‌دانیم. اگر بخواهی دو طرف را بر عبارتی مثل x − 2 تقسیم کنی، هنوز معلوم نیست آن عبارت مثبت، منفی یا صفر است. تقسیم مستقیم می‌تواند هم جهت را اشتباه کند و هم حالت صفر را از دست بدهد.

در چنین مسئله‌ای ابتدا عبارت را به یک سمت ببر، تجزیه کن، صفرهای عامل‌ها را روی محور بگذار و علامت هر بازه را جدا بسنج. این همان مرزی است که روش کوتاهِ «فقط علامت را برگردان» دیگر به‌تنهایی کافی نیست.

اشتباه آزمون را به تمرین انتقال تبدیل کن

به‌جای حل چند نامساوی شبیه هم، عمل تعیین‌کننده را هر بار عوض کن:

1. تشخیص خالص: در −4x > 12 بر −4 تقسیم کن؛ پاسخ x < −3 است. عدد −4 نامساوی اصلی را درست می‌کند.
2. بعد از بازکردن پرانتز: −2(3y + 1) ≤ 10 به −6y − 2 ≤ 10 و سپس −6y ≤ 12 می‌رسد؛ با تقسیم بر −6، جواب y ≥ −2 است.
3. انتقال به کسر: در −z/5 ≥ 3 ابتدا در ۵ مثبت ضرب کن و جهت را نگه دار: −z ≥ 15. سپس بر −1 تقسیم کن و جهت را برگردان: z ≤ −15.

پس از هر تمرین، یک مقدار داخل ناحیهٔ پاسخ و یک مقدار بیرون آن انتخاب کن. اولی باید نامساوی اصلی را درست و دومی آن را نادرست کند. این کنترل، حفظ‌کردن قاعده را به تشخیص واقعی تبدیل می‌کند.

چک‌لیست کنترل نامساوی

• عمل انجام‌شده روی دو طرف را کنار هر خط نوشته‌ام.
• جمع و تفریق عدد منفی را با ضرب یا تقسیم بر عدد منفی اشتباه نگرفته‌ام.
• هنگام ضرب یا تقسیم بر عدد منفی، جهت علامت را برگردانده‌ام.
• اگر مقسوم‌علیه شامل مجهول است، پیش از دانستن علامتش مستقیم تقسیم نکرده‌ام.
• عدد مرزی را در نامساوی اصلی کنترل کرده‌ام.
• یک عدد از داخل مجموعهٔ جواب را نیز آزمایش کرده‌ام.

برای پیدا کردن خطی که هنوز درست است، راهنمای روش آخرین خط مطمئن را اجرا کن. اگر می‌خواهی پاسخ را با چند کنترل مستقل بسنجی، از روش‌های بررسی جواب مسئله کمک بگیر. مسیر کامل رفع اشکال نیز در صفحهٔ حل سؤال ریاضی مرحله‌به‌مرحله آمده است.

جمع‌بندی

برای تشخیص خطای تغییر جهت نامساوی، به‌جای شمردن علامت‌های منفی، عملِ بین دو خط را ببین. جمع یا تفریق جهت را ثابت نگه می‌دارد؛ ضرب یا تقسیم بر عدد مثبت هم همین‌طور است؛ اما ضرب یا تقسیم بر عدد منفی جهت نامساوی را برعکس می‌کند. در پایان، مرز و یک عدد آزمایشی را در صورت اصلی بگذار تا جهت پاسخ قطعی شود.