حذف مخرج در معادله کسری؛ ک.م.م را در همه جمله‌ها ضرب کن

حذف مخرج در معادله کسری دقیقاً چه کاری است؟

در معادله‌ای با ضرایب کسری، به‌جای کارکردن با چند مخرج می‌توان از خاصیت ضرب تساوی استفاده کرد: هر دو طرف را در یک عدد ناصفر یکسان ضرب می‌کنیم. انتخاب مناسب، کوچک‌ترین مضرب مشترکِ همهٔ مخرج‌هاست؛ چون پس از توزیع، هر مخرج یکی از عامل‌های آن است و ساده می‌شود.

نقشهٔ کار:
A + B = C
L(A + B) = L(C)
LA + LB = LC
در این نقشه، L همان ک.م.م است. حذف مخرج نتیجهٔ ضرب و ساده‌سازی است؛ مخرج‌ها را بدون نوشتن این ضرب خط نمی‌زنیم.

بخش Solve Equations with Fractions or Decimals در Elementary Algebra 2e از OpenStax نیز همین روش را ارائه می‌کند: ک.م.م همهٔ کسرهای معادله را پیدا کن، هر دو طرف را در آن ضرب کن، ضرب را توزیع کن و سپس معادلهٔ بدون کسر را حل کن.

روش تشخیص «مخرج، ک.م.م، پیکان»

همهٔ مخرج‌ها را فهرست کن. عدد صحیح را هم می‌توان کسری با مخرج ۱ دید. فقط مخرج‌های سمت چپ را نبین؛ دو طرف تساوی را بررسی کن.
ک.م.م را بساز. برای مخرج‌های ۶، ۴ و ۳، کوچک‌ترین مضرب مشترک ۱۲ است. لازم نیست حاصل‌ضرب همهٔ مخرج‌ها را انتخاب کنی، هرچند آن هم ممکن است کسرها را حذف کند.
دو طرف را پرانتز بگذار. شکل 12(سمت چپ) = 12(سمت راست) یادآوری می‌کند که تساوی باید حفظ شود.
به هر جمله پیکان بکش. ک.م.م را روی جمع و تفریق توزیع کن. تعداد پیکان‌ها باید با تعداد جمله‌های دو طرف برابر باشد.
هر کسر را جدا ساده کن. ابتدا 12 ÷ مخرج را حساب کن و حاصل را در صورت ضرب کن؛ سپس معادلهٔ تازه را حل کن.

آزمون سریع: پس از حذف مخرج نباید هیچ‌یک از مخرج‌های عددیِ فهرست‌شده باقی مانده باشد. باقی‌ماندن یک کسر معمولاً یعنی یک جمله پیکان نگرفته یا ک.م.م ناقص انتخاب شده است.

مثال تخصصی: اولین خط اشتباه را پیدا کن

معادلهٔ زیر را در نظر بگیر:

x/6 + (x − 1)/4 = 5/3

مخرج‌ها ۶، ۴ و ۳ هستند و ک.م.م آن‌ها ۱۲ است. یک راه‌حل خطادار چنین شروع می‌شود:

خط نوشته‌شده:
12 × x/6 + (x − 1)/4 = 12 × 5/3
2x + (x − 1)/4 = 20

اولین خطا همین خط اول است. عدد ۱۲ فقط در جملهٔ اول سمت چپ ضرب شده و جملهٔ (x − 1)/4 جا مانده است. دو طرف معادله را در ۱۲ ضرب نکرده‌ایم؛ فقط بعضی جمله‌ها را تغییر داده‌ایم. شکل درست پیش از هر ساده‌سازی این است:

حل درست:
12[x/6 + (x − 1)/4] = 12(5/3)
2x + 3(x − 1) = 20
2x + 3x − 3 = 20
5x = 23
x = 23/5

در خط دوم، ۱۲ روی هر دو جملهٔ داخل کروشه توزیع شده است. همچنین حاصل 12(x − 1)/4 برابر 3(x − 1) است، نه 3x − 1؛ ضریب ۳ باید روی هر دو جملهٔ پرانتز اثر بگذارد. این همان مهارتی است که در راهنمای پخش کردن عدد در پرانتز جداگانه تمرین شده است.

جواب را در معادلهٔ اصلی کنترل کن

کنترل را روی صورت اصلی انجام بده، نه فقط روی معادلهٔ بدون مخرج؛ چون می‌خواهیم مطمئن شویم مرحلهٔ حذف مخرج هم درست بوده است. با x = 23/5 داریم:

(23/5)/6 + (23/5 − 1)/4
= 23/30 + (18/5)/4
= 23/30 + 9/10
= 23/30 + 27/30 = 50/30 = 5/3

دو طرف برابر شدند؛ پس جواب از کنترل عبور می‌کند. اگر نتیجه برابر نشد، از پاسخ نهایی به عقب نرو. نخستین خطی را پیدا کن که ک.م.م توزیع شده است و کنار هر جمله مقدار ضرب‌شده را جدا حساب کن.

سه خطای نزدیک را از هم جدا کن

جا انداختن یک جمله: ک.م.م در بعضی جمله‌ها ضرب می‌شود. درمان: پرانتز دور هر طرف و یک پیکان برای هر جمله.
انتخاب مخرج مشترک ناقص: مثلاً برای ۶ و ۴ عدد ۸ انتخاب می‌شود؛ چون ۸ مضرب ۶ نیست، کسر اول حذف نمی‌شود. درمان: بخش‌پذیری ک.م.م بر تک‌تک مخرج‌ها را بررسی کن.
پخش ناقص پس از ساده‌سازی: از 3(x − 1) به 3x − 1 می‌رسند. درمان: ضریب بیرون پرانتز را در همهٔ جمله‌های داخل آن ضرب کن.

اگر معادله دقیقاً به شکل «یک کسر برابر یک کسر» باشد، ضرب متقاطع یک میان‌بر معتبر است. اما در عبارتی مثل x/6 + (x − 1)/4 = 5/3 بیش از یک جمله در یک طرف داریم؛ پس نمی‌توان بی‌درنگ صورت‌ها و مخرج‌ها را ضرب متقاطع کرد. راهنمای تشخیص ساختار درست ضرب طرفین وسطین مرز این دو روش را توضیح می‌دهد.

مرز کاربرد: این مقاله دربارهٔ معادله‌هایی با مخرج‌های عددی و ضرایب کسری است. اگر مخرج شامل مجهول باشد، باید ابتدا مقدارهای ممنوع را ثبت و جواب نهایی را در معادلهٔ اصلی آزمایش کنی؛ حذف مخرج در آن حالت می‌تواند جواب نامعتبر تولید کند.

تمرین انتقال: خطا را به مهارت تبدیل کن

در هر تمرین، قبل از حل فقط سه چیز بنویس: فهرست مخرج‌ها، ک.م.م و خطِ کامل ضرب با پرانتز. هدف این است که حذف مخرج را از محاسبات بعدی جدا کنی.

توزیع روی سه جمله: 3(y − 2)/4 − y/6 = 5/3. ک.م.م ۱۲ است و خط درست 9(y − 2) − 2y = 20 می‌شود؛ در نتیجه y = 38/7.
انتقال با علامت منفی: z/8 − (z + 3)/6 = 1/4. ک.م.م ۲۴ است: 3z − 4(z + 3) = 6 و پاسخ z = −18 است.
ساخت تمرین از اشتباه: اگر در سؤال اصلی جملهٔ دوم را جا انداختی، همان ساختار را با مخرج‌های ۳ و ۵ و دو جمله در سمت چپ بساز. این بار پیش از حساب، تعداد جمله‌ها و پیکان‌ها را برابر کن.

تمرین دوم معیار انتقال است، چون هم تفریق دارد و هم پرانتزی که پس از حذف مخرج باید درست توزیع شود. کنترل مستقیم نشان می‌دهد برای z = −18، سمت چپ برابر −18/8 − (−15)/6 = −9/4 + 5/2 = 1/4 است.

چک‌لیست حل معادله با ضرایب کسری

مخرج‌های هر دو طرف معادله را نوشته‌ام.
عدد انتخابی بر همهٔ مخرج‌ها بخش‌پذیر است.
پیش از ساده‌سازی، هر دو طرف تساوی را داخل پرانتز گذاشته‌ام.
ک.م.م را در تک‌تک جمله‌ها، با حفظ علامت آن‌ها، ضرب کرده‌ام.
پس از حذف مخرج، پرانتزها را کامل پخش کرده‌ام.
جواب را در خودِ معادلهٔ کسری اولیه جای‌گذاری کرده‌ام.

این روش یکی از خطاهای اجراییِ پرتکرار در حل سؤال ریاضی مرحله‌به‌مرحله را هدف می‌گیرد. اگر نتیجهٔ جای‌گذاری برابر نشد، با راهنمای کنترل جواب مسئله علامت، کسر و عملیات را جداگانه بررسی کن.

جمع‌بندی

حذف مخرج در معادله کسری به معنی خط زدن مستقیم مخرج‌ها نیست. ک.م.م همهٔ مخرج‌ها را پیدا کن، هر دو طرف را داخل پرانتز بگذار، ضرب را روی همهٔ جمله‌ها توزیع و هر کسر را جدا ساده کن. نشانهٔ اصلی خطا، جمله‌ای است که پیکان ضرب نگرفته یا کسری است که پس از مرحلهٔ حذف هنوز باقی مانده. در پایان، جواب را در معادلهٔ اصلی جای‌گذاری کن تا هم حل و هم مرحلهٔ حذف مخرج کنترل شود.

خط حذف مخرج معادله‌ات را بفرست